3.672 \(\int \frac{(a+b x)^3}{x^{4/3}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=49 \[ \frac{9}{2} a^2 b x^{2/3}-\frac{3 a^3}{\sqrt [3]{x}}+\frac{9}{5} a b^2 x^{5/3}+\frac{3}{8} b^3 x^{8/3} \]

[Out]

(-3*a^3)/x^(1/3) + (9*a^2*b*x^(2/3))/2 + (9*a*b^2*x^(5/3))/5 + (3*b^3*x^(8/3))/8

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0109002, antiderivative size = 49, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 13, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.077, Rules used = {43} \[ \frac{9}{2} a^2 b x^{2/3}-\frac{3 a^3}{\sqrt [3]{x}}+\frac{9}{5} a b^2 x^{5/3}+\frac{3}{8} b^3 x^{8/3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*x)^3/x^(4/3),x]

[Out]

(-3*a^3)/x^(1/3) + (9*a^2*b*x^(2/3))/2 + (9*a*b^2*x^(5/3))/5 + (3*b^3*x^(8/3))/8

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b x)^3}{x^{4/3}} \, dx &=\int \left (\frac{a^3}{x^{4/3}}+\frac{3 a^2 b}{\sqrt [3]{x}}+3 a b^2 x^{2/3}+b^3 x^{5/3}\right ) \, dx\\ &=-\frac{3 a^3}{\sqrt [3]{x}}+\frac{9}{2} a^2 b x^{2/3}+\frac{9}{5} a b^2 x^{5/3}+\frac{3}{8} b^3 x^{8/3}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0101344, size = 39, normalized size = 0.8 \[ \frac{3 \left (60 a^2 b x-40 a^3+24 a b^2 x^2+5 b^3 x^3\right )}{40 \sqrt [3]{x}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*x)^3/x^(4/3),x]

[Out]

(3*(-40*a^3 + 60*a^2*b*x + 24*a*b^2*x^2 + 5*b^3*x^3))/(40*x^(1/3))

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.004, size = 36, normalized size = 0.7 \begin{align*} -{\frac{-15\,{b}^{3}{x}^{3}-72\,a{b}^{2}{x}^{2}-180\,{a}^{2}bx+120\,{a}^{3}}{40}{\frac{1}{\sqrt [3]{x}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a)^3/x^(4/3),x)

[Out]

-3/40*(-5*b^3*x^3-24*a*b^2*x^2-60*a^2*b*x+40*a^3)/x^(1/3)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.03584, size = 47, normalized size = 0.96 \begin{align*} \frac{3}{8} \, b^{3} x^{\frac{8}{3}} + \frac{9}{5} \, a b^{2} x^{\frac{5}{3}} + \frac{9}{2} \, a^{2} b x^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \, a^{3}}{x^{\frac{1}{3}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^3/x^(4/3),x, algorithm="maxima")

[Out]

3/8*b^3*x^(8/3) + 9/5*a*b^2*x^(5/3) + 9/2*a^2*b*x^(2/3) - 3*a^3/x^(1/3)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 1.52177, size = 85, normalized size = 1.73 \begin{align*} \frac{3 \,{\left (5 \, b^{3} x^{3} + 24 \, a b^{2} x^{2} + 60 \, a^{2} b x - 40 \, a^{3}\right )}}{40 \, x^{\frac{1}{3}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^3/x^(4/3),x, algorithm="fricas")

[Out]

3/40*(5*b^3*x^3 + 24*a*b^2*x^2 + 60*a^2*b*x - 40*a^3)/x^(1/3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [C]  time = 3.62714, size = 4005, normalized size = 81.73 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)**3/x**(4/3),x)

[Out]

Piecewise((243*a**(68/3)*b**(1/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b*
*2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40
*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 243*a**(68/3)*b**(1/3)*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18
*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 +
40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 1296*a**(65/3)*b**(4/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)/(40*a**20 - 240*a
**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 2
40*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 1458*a**(65/3)*b**(4/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(40
*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a
/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 2808*a**(62/3)*b**(7/3)*(-1 + b*(a/b
+ x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**2/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(
a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 3645*a
**(62/3)*b**(7/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 -
800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b
+ x)**6) - 3120*a**(59/3)*b**(10/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**3/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x)
+ 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a
/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 4860*a**(59/3)*b**(10/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240
*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 -
240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 1830*a**(56/3)*b**(13/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2
/3)*(a/b + x)**4/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3
+ 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 3645*a**(56/3)*b*
*(13/3)*(a/b + x)**4*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17
*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) -
528*a**(53/3)*b**(16/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**5/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**1
8*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5
+ 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 1458*a**(53/3)*b**(16/3)*(a/b + x)**5*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a
/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*
b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 96*a**(50/3)*b**(19/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)
**6/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*
b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 243*a**(50/3)*b**(19/3)*(a/b +
x)**6*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x
)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 48*a**(47/3)*
b**(22/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**7/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x
)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6
*(a/b + x)**6) + 15*a**(44/3)*b**(25/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**8/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b
+ x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**
5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6), Abs(b*(a/b + x))/Abs(a) > 1), (243*a**(68/3)*b**(1/3)*(1 - b*(a/
b + x)/a)**(2/3)*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**
3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 243
*a**(68/3)*b**(1/3)*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*
b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) -
1296*a**(65/3)*b**(4/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) +
600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b
+ x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 1458*a**(65/3)*b**(4/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19
*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a
**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 2808*a**(62/3)*b**(7/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b
+ x)**2*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b +
x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 3645*a**(62
/3)*b**(7/3)*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*
a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)*
*6) - 3120*a**(59/3)*b**(10/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(
a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15
*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 4860*a**(59/3)*b**(10/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(40*a**
20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b +
x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 1830*a**(56/3)*b**(13/3)*(1 - b*(a/b + x)
/a)**(2/3)*(a/b + x)**4*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a*
*17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6
) - 3645*a**(56/3)*b**(13/3)*(a/b + x)**4*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/
b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14
*b**6*(a/b + x)**6) - 528*a**(53/3)*b**(16/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**5*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20
- 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)
**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 1458*a**(53/3)*b**(16/3)*(a/b + x)**5*exp(2*
I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a*
*16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 96*a**(50/3)*b**(19/3)*(1
- b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**6*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x
)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6
*(a/b + x)**6) - 243*a**(50/3)*b**(19/3)*(a/b + x)**6*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a*
*18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**
5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) - 48*a**(47/3)*b**(22/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**7*exp(2*I*pi/3)
/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 - 800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**
4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b + x)**6) + 15*a**(44/3)*b**(25/3)*(1 - b*(a/
b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**8*exp(2*I*pi/3)/(40*a**20 - 240*a**19*b*(a/b + x) + 600*a**18*b**2*(a/b + x)**2 -
800*a**17*b**3*(a/b + x)**3 + 600*a**16*b**4*(a/b + x)**4 - 240*a**15*b**5*(a/b + x)**5 + 40*a**14*b**6*(a/b +
x)**6), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 1.05932, size = 47, normalized size = 0.96 \begin{align*} \frac{3}{8} \, b^{3} x^{\frac{8}{3}} + \frac{9}{5} \, a b^{2} x^{\frac{5}{3}} + \frac{9}{2} \, a^{2} b x^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \, a^{3}}{x^{\frac{1}{3}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^3/x^(4/3),x, algorithm="giac")

[Out]

3/8*b^3*x^(8/3) + 9/5*a*b^2*x^(5/3) + 9/2*a^2*b*x^(2/3) - 3*a^3/x^(1/3)